Recta Tangente
En la geometría plana, una recta es tangente a una circunsferencia si la toca o corta en un solo punto. Esta definición, sin embargo, no es buena para otro tipo de curvas.
Por ello, buscaremos una noción de recta tangente para aplicarla a curvas que no sean circunsferencias.
Si consideramos una función continua y=f(x) en el punto de abscisa x1 y consideramos dos puntos pertenecientes a ella (x1,f(x1)) y (x1+h, f(x1+h)), la pendiente de la recta secante que pasa por dichos puntos se calcula como:
¿Qué indica también este cociente? ¿Lo recuerdas? Ésta es la expresión de la Razón de Cambio Promedio de f(x) con respecto a x en el intervalo [x1,x1+h].
Consideremos que P=(x1, f(x1)) es un punto fijo y que Q=(x1+h, f(x1)+h) se mueve a lo largo de la gráfica de f acercándose a P.
Esto equivale a decir que h tiende a 0, ya que x1+h estará cada vez más próximo a x1. La recta secante gira teniendo a P fijo y si tiene una posición límite, ésta es la recta tangente a la gráfica de f(x) en P. Entonces, la recta tangente tendrá como pendiente al limite de la pendiente de la rectas secantes:
¿Qué indica también este cociente? ¿Lo recuerdas? Ésta es la expresión de la Razón de Cambio Instantánea de f(x) en x=x1.
Examina este gif animado donde en celeste aparece la gráfica de una función. En ella está señalado un punto fijo en verde y una recta, también en verde, que es la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Observarás en rosado las rectas secantes que se determinan considerando dos puntos de dicha gráfica, uno de los cuales es el punto verde. Concéntrate en visualizar cómo dichas rectas se van acercando a la recta tangente a medida que el segundo punto se acerca al punto fijo:
Va un video con estas ideas y un poco de historia ...
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En el siguiente archivo en GeoGebra, se representó la función costo del problema de los zapatos:
C(x)=x3 - 5x2 + 90x+200.
En rojo se visualizan las rectas secantes que pasan por dos puntos de dicha gráfica, uno es el punto F=(5,650) y el otro es (5+h, C(5+h)) con h tomando diferentes valores, cada vez más próximos a 0.
¿Observas cómo las rectas secantes se aproximan a la recta tangente a la gráfica de C(x) en el punto F?.
Esta última, la RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA DE y=C(x) EN EL PUNTO F=(5,650), aparece cuando h=0.
Recuerda la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y=C(x) en el punto (5,650): 115.