Aplicación de la Derivada al problema del costo de los zapatos
Originalmente los economistas definieron el costo marginal a un nivel de producción x como C(x+1)-C(x), que es el costo de producir una unidad adicional del artículo. Ya que:
se deduce que el costo marginal C’(x) a nivel de producción x es aproximadamente el costo de producir la unidad (x+1).
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Recordemos que en el problema del fabricante de zapatos se estima que el costo (en pesos) de producir x zapatos de un cierto modelo viene dado por
C(x)= x3 - 5 x2 + 90 x + 200
Como el costo marginal es la derivada del costo, sabemos entonces que para hallar el costo marginal de producir 5 zapatos debemos calcular la derivada de la función y=C(x) en x=5.
Se puede calcular la función derivada C’(x) y luego evaluarla en x=5.
Apliquemos para ello las reglas de derivación y las derivadas de ciertas funciones de la página anterior.
Como C(x) es una combinación lineal de funciones, aplicaremos la Regla de derivación 3. para hallar su derivada derivando en cada término la función de x que aparece y dejando igual los coeficientes que multiplican a cada función:
Aplicando 6. en los tres primeros términos y 1. en el último término, resulta que la derivada es:
Evaluando esta nueva función en 5, se obtiene:
Por lo tanto el costo marginal de fabricar 5 zapatos es de $115.
¿Recuerdas este número? Apareció en las hojas ‘Ejemplo de Razón de Cambio Instantánea’ y 'Recta Tangente' cuando calculamos la razón de cambio instantánea de la función C(x) en x=5 y cuando determinamos la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y=C(x) en el punto (5,650) . Ahora sabemos que la razón de cambio instantánea y la pendiente de la recta tangente son respectivamente la interpretación algebraica y geométrica de la DERIVADA.
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Comparémoslo con el costo real de producir el zapato número 6. Para ello al costo de producir el zapato número 6, le restamos el costo de producir el zapato número 5:
C(6) - C(5)= 776 - 650 = 116
Como se observa, el costo marginal (la derivada de la función costo) al nivel de producción 5 es aproximadamente el costo de producir una unidad más, la 6.